Mathematische Zeichen und Unicode-Blöcke Woher kommen die Zeichen?

Zu mathematischen Verfahren gehören Abstraktionen, Rechenoperationen auf Elementen und abkürzende Zeichen und Symbole, die sich i.a. im historischen Kontext entwickelten und im Mathematik-Unterricht gelernt und (wieder) verwendet werden. Zu druckbaren Zeichen gehört ein Zeichenvorrat und grafische Darstellungformen ("Lettern").

Mathematische und technische Zeichen Gibt es im Unicode mathematische Zeichen?

Für eine weltwete Nutzung ersetzt der UTF-8 UNICODE-Standard zunehmend den 8-bit ANSI-Standard (ISO-8859, 256 Zeichen). Bei XHTML können (soweit bereits im Browser eingebaut) alle benummerten Unicode-Zeichen angezeigt werden können. Die "Benamung" von Zeichen erfolgt in der DTD (lat1.ent, special.ent, symbol.ent).

Nachfolgend sind einige mathematischen Zeichen aus unterschiedlichen Unicode-Blöcken zusammen gestellt. Wenn in der folgenden Ansicht nur kleine Kästchen oder &Entity;-Angaben zu sehen sind, so kann der Browser (bzw. das Betriebssystem) derzeit diese Unicode-Zeichen noch nicht darzustellen.

UNICODE-Standard
ℑ ℑ Zeichen für "imaginär"
℘ ℘ Weierstraß-P
ℜ ℜ Zeichen für "real"
ℵ ℵ Alef-Symbol. Dieses Alef-Symbol (ℵ) stammt nicht aus der Tabelle hebräischer Buchstaben. Hier ist das Alef א.
Pfeile
←   ← ← Pfeil nach links
↑ ↑ Pfeil nach oben
→ → Pfeil nach rechts
↓ ↓ Pfeil nach unten
↔ ↔ Horizontaler Pfeil nach rechts und links
  ↕   Pfeil nach oben und unten
↵   ↵ ↵ Pfeil nach unten und links
⇐ ⇐ Doppelpfeil nach links
⇑ ⇑ Doppelpfeil nach oben
⇒ ⇒ Doppelpfeil nach rechts
⇓ ⇓ Doppelpfeil nach unten
⇔ ⇔ Horizontaler Doppelpfeil nach rechts und links
  ⇕   Vertikaler Doppelpfeil nach oben und unten
Mathematische Zeichen und Operatoren
′   ′   ′ ′ Minuten-Zeichen, erste Ableitung
″ ″ Sekunden-Zeichen, zweite Ableitung
∀ ∀ für jedes Element der Menge
∂ ∂ Partielle Differentiation
∃ ∃ es gibt ein Element in der Menge
∅ ∅ leere Menge
Δ Δ &#916 Δ Differenz, Delta-Operator
  ∆   Differenz, Delta-Operator
∇ ∇ Delta-Operator
∈ ∈ ist Element der Menge
∉ ∉ ist nicht Element der Menge
∋ ∋ enthält Elemente
∏ ∏ Produkt-Zeichen
∑ ∑ Summen-Zeichen
− − Minus-Zeichen
∗ ∗ Asteriks (Sternchen)
√ √ Wurzel-Zeichen
∝ ∝ Proportional zu-Zeichen
∞ ∞ unendlich-Zeichen
∠ ∠ Winkel-Zeichen
¬ ¬ ¬ ¬ Logisches Not
∧ ∧ Logisches Und (Konjunktion)
∨ ∨ Logisches Oder (Adjunktion)
∩ ∩ Schnittmenge
∪ ∪ Vereinigungsmenge
∫ ∫ Integral-Zeichen
∴ ∴ Deshalb
∼ ∼ ähnlich, proportional
≅ ≅ annähernd gleich
≈ ≈ rund, etwa
≠ ≠ ungleich
≡ ≡ identisch gleich
≤ ≤ kleiner oder gleich
≥ ≥ größer oder gleich
⊂ ⊂ Untermenge von
⊃ ⊃ Obermenge von
⊄ ⊄ Keine Untermenge von
⊆ ⊆ Untermenge von oder gleich mit
⊇ ⊇ Obermenge von oder gleich mit
⊕ ⊕ Plus-Zeichen im Ring
⊗ ⊗ Produkt-Zeichen im Ring
⊥ ⊥ senkrecht zu
⋅ ⋅ Punkt-Operator
· · · Punkt-Operator
Technische Symbole
⌈   ⌈ ⌈ links oben
⌉ ⌉ rechts oben
⌊ ⌊ links unten
⌋ ⌋ rechts unten
〈 ⟨ große spitze Klammer links
〉 ⟩ große spitze Klammer rechts
Unicode-Mathematical-Operators Unicodeblock U+2200(8704) – U+22FF(8959)

Unicode-Block: Mathematical-Operators → Unicode.org chart U+2200(8704) – U+22FF(8959) (PDF)

Mathematical Operators U+2200(8704) – U+22FF(8959)
x= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f
U+220x Ƞ ȡ Ȣ ȣ Ȥ ȥ Ȧ ȧ Ȩ ȩ Ȫ ȫ Ȭ ȭ Ȯ ȯ
U+221x
U+222x
U+223x
U+224x
U+225x
U+226x
U+227x
U+228x
U+229x
U+22ax
U+22bx
U+22cx
U+22dx
U+22ex
U+22fx
Browserspezifische math. Zeichensätze Speziell nur für IE

Das folgende ist überholt und sollte heunte nur noch in speziellen Ausnahmen verwendet werden.

Der Windows-Font "Symbol" enthält zahlreiche Symbole, die beim MS-IE verwendet wurden, solange der Unicode-Anpassungen für den IE noch nicht verfügbar war. Zur Vereinfachung kann eine CSS-Klasse math definiert werden, die dann etwa gemäß
<span class="math">Û</span> verwendet wird

<style type="text/css"> 
.math {
font-family: symbol;
font-size: 0.9em;
}
</style>
mathematischen Zeichen beim IE mit dem Symbol-Font
Zeichen gesprochen Beispiel
Þ daraus folgt   n ist durch 4 teilbar  Þ   n ist durch 2 teilbar
Û genau dann, wenn   n ist eine gerade Zahl  Û   n ist durch 2 teilbar
» ungefähr gleich   1/3 »   0.33
¹ ungleich   2 ¹ 1
< kleiner   1 < 2
> größer   2 > 1
£ kleiner-gleich   - x2 £ 0 für jede reelle Zahl x
³ größer-gleich   x2 ³ 0 für jede reelle Zahl x
º identisch   a × a º a2
± plus-minus   Aus x2  = 4  folgt  x  = ± 2  (d.h. x  = -2 oder x  = 2)
{ ¼ } Menge   A = {1, 4, 9, 16, 25}
N Menge der natürlichen Z.  N = {1, 2, 3, ¼}
 Achtung: Manchmal wird die Null zur Menge N hinzugenommen.
Z Menge der ganzen Z.   Z = {¼, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ¼}
Q Menge der rationalen Z.  Menge aller Bruchzahlen  m/n  (wobei m, n ganzzahlig und n¹ 0)
R Menge der reellen Z.  Menge aller Zahlen mit Dezimaldarstellung
(a, b) offenes Intervall  Achtung: Verwechslungsgefahr mit "geordnetes Paar" (s.u.)
[a, b] abgeschlossenes I.  [a, b) und (a, b] bezeichnen halboffene Intervalle.
¥ unendlich  
| ¼ | Absolutbetrag   Beispiele:  | 5 | = 5, | -6 | = 6
Ö (Quadrat-)Wurzel  Wird der Einfachheit halber oft auch als  Ö   geschrieben.
  Für (nicht-negative) reelle Zahlen ist sie immer ³ 0 (z.B. Ö 4 = 2).
π Kreiszahl (Pi)   π = 3.1415926535897932384626433832795...»   3.14 ¼
Î ist Element von   5 Î N
Ï ist kein Element von   ½  Ï N
" für alle (für jedes)   x · y = y · x    " x, y Î R
$ es existiert ein   $ aÎ R, sodaß gilt:  a2 = 2
| für die gilt  { x| ¼} = Menge aller x, für die gilt ¼
Ç Durchschnittsmenge  A Ç B = { x | x ÎA und x Î B }
È Vereinigungsmenge  AÈ B = { x | x Î A oder x Î B }
Í ist Teilmenge von  NÍZ
Ê ist Obermenge von  ZÊN
\ Komplementärmenge  A \ B = { xÎ A | x Ï B }
  Dafür ist auch die Schreibweise  A ~ B  gebräuchlich.
^ hochstellen (Potenz)   Schreibweise x^2 anstelle von x2
Ù  logisches UND  
Ú  logisches ODER  
Ø  logisches NICHT  
{ } leere Menge  Dafür ist auch das Symbol  f   gebräuchlich.
@ isomorph   Kann im konkreten Fall verschiedene Bedeutungen haben, z.B., daß zwei Mengen "gleichmächtig" sind.
(a, b) geordnetes Paar  Achtung: Verwechslungsgefahr mit "offenes Intervall"
× kartesisches Produkt
zweier Mengen
 A ×   B = { ( a, b) | a Î A, b Î B }.
Ausgesprochen: "A kreuz B  ".
  Verwechslungsgefahr mit "Kreuzprodukt von Vektoren"
R2 zweidimensionaler Raum  Mathematische Formalisierung der als R× R .
 Ausgesprochen:  "R zwei".
R3 dreidimensionaler Raum  Formalisierung des dreidimensionalen Raumes als R× R × R .
 Verallgemeinerung: Rn (n = 4, 5, ¼).
a Vektor  Vektoren werden fett daregstellt.  Beispiel: a = (3, 4).
| ¼ | Betrag eines Vektors   | (3, 4) | = 5.
|| parallel  Schreibweise: a || b
^ normal (orthogonal)  Schreibweise: a ^ b
D Dreieck  Schreibweise für das Dreieck mit Eckpunkten A,B und C: DABC
 Achtung: Verwechslungsgefahr mit "Änderung"
Winkelsymbol Winkel  Schreibweise:  Winkelsymbol CAB (für den Winkel mit Scheitel A).
f(x) Funktionen   Durch f(x) = x3 ist eine Funktion f : R ®R  definiert.
o Verkettung von Funktionen  (f o g) (x) =  f  (g(x))
® Zuordnungsvorschrift für Funktionen   Durch f : xx2 ist eine Funktion f : R ®R  definiert.
® asymptotisches Verhalten: "gegen"   x2 wächst für x¥("x gegen Unendlich") über jede Schranke.
e Eulersche Zahl   e = 2.7182818284590452353602874713526... »  2.718 
| bedingte Wahrscheinlichkeit  Schreibweise: p(A|B)
< ... > Erwartungswert   <a>für den Erwartungswert der Zufallsvariable a.
  Eine andere Schreibweise dafür ist E(a).
σ Erwartungswert  Übliche Bezeichnung für den Erwartungswert einer Zufallsvariable.
σ2 Varianz  Übliche Bezeichnung für die Varianz einer Zufallsvariable.
s Standardabweichung  Übliche Bezeichnung für die Standardabweichung einer Zufallsvariable.
' Ableitung  (x2' = 2·x
'' Zweite Ableitung  (x3)''
D Differenz, Änderung  Differenzenquotient:  Df / Dx
 Achtung: Verwechslungsgefahr mit "Dreieck"
d Differential  Ableitung ("Differentialquotient"): df/dx gesprochen als "df nach dx".
d/dx Differenzieren   d(x2)/dx = 2·x gesprochen: "d nach dx von ...".
d2/dx2 Zweimal differenzieren   d2(sin x)/dx2 =  -sin x gesprochen: "d zwei nach dx-Quadrat von ...".
| an der Stelle   (x2' |x=5 =  10
ò ... dx unbestimmtes Integral   ò x2  dx =  x3/3
òab ... dx bestimmtes Integral   ò03 x2 dx =  9
| Differenz an den Stellen   ò12 3x2·dx  =  x3 |12   =  23 - 13  =  7  
Zeichen per Tastatur Wie?

Zu einem Betriessystem ( wie z.B. Windows ) gehört eine Tastatur-Zeichentabelle ( NumLock ). Für Unicode-Zeichen gibt es Tastenkombinationen. Schriftzeichen sind kulturabhängi entstanden. Es gibt zahlreiche asiatischen Schriftzeichen, deren Tastatureingabe hier nicht besprochen wird. Hinweis: Sollen Unicode-Zeichen (wie z.B. äöü ) im HTML-Quelltext sichtbar sein, so ist die UTF-8-Datei-Codierung wesentlich Siehe Byte-Order-Mark de.wikipedia: BOM . Bei einem UTF-8-BOM sind die ersten Datei-hex-Bytes: EFBBBF, die bei Fehlcodierungen als "" erscheinen können.

Hier werden vorrangig mathematische Unicode-Zeichen behandelt. Bei der Tasten-Eingabe wird die Alt-Taste gedrückt und bleibt bei der Eingabe der folgenden 4 Ziffern gedrückt. Beispiel: ­Alt+0173 erzeugt einen weiche Bindestrich­ (soft hyphen, abgekürzt shy), der als bedingter Trennstrich eine mögliche Zeilenumbruch-Trennstelle markiert (siehe z.B. de.wikipedia: Weicher Bindestrich ).

Zeicheneingabe per Tastatur
( Auswahl von mathematischen / phsikalischen Zeichen)
©Alt+0169  Copyright-Zeichen
Alt+0128  Euro-Zeichen
Alt+8962  Haus
Alt+0150  Bindestrich
Alt+0150  Gedankenstrich
Alt+8213  Horizontale Linie
Alt+8210  Gedankenstrich
_Alt+0095  Unterstrich
Alt+8215  Doppelter Unterstrich
Alt+8214  Doppelte vertikale Linie
ǁAlt+0449  Lateinischer Buchstabe lateral Klick
ƖAlt+0406  
ǂAlt+0450 
ɸAlt+0632 Phi
Alt+8592  Pfeil nach links
Alt+8593  Pfeil nach oben
Alt+8594  Pfeil nach rechts
Alt+8595  Pfeil nach unten
Alt+8596  Pfeil nach links-rechts
Alt+8597  Pfeil nach oben-unten
¼Alt+0188  Bruchzahl 1/4
½Alt+0189  Bruchzahl 1/2
¾Alt+0190  Bruchzahl 3/4
Alt+8531  Bruchzahl 1/3
Alt+8532  Bruchzahl 2/3
Alt+8539  Bruchzahl 1/8
Alt+8540  Bruchzahl 3/8
Alt+8541  Bruchzahl 5/8
Alt+8542  Bruchzahl 7/8
°Alt+0176  Gradzeichen
ºAlt+0186  Ordnungszeichen männlich
Alt+0137  Promillezeichen
*Alt+0042 Sternchen
 Alt+0160  Dauer-Leerzeichen
·Alt+0183  Mittelpunkt
Alt+8729  Aufzählungsoperator
Alt+01497  Aufzählungszeichen
¬Alt+0172  Nicht-Zeichen 
Alt+8976  Umgekehrtes Nicht-Zeichen
±Alt+0177  Plus/Minuszeichen
Alt+8242  Einfaches  gerades Anführungszeichen
Alt+8243  Doppeltes gerades Anführungszeichen
Alt+8244  Dreifaches gerades Anführungszeichen
¹Alt+0185 hochgestellte 1
²Alt+0178 hochgestellte 2
³Alt+0179 hochgestellte 3
Alt+8722  Minuszeichen
×Alt+0215  Multiplikationszeichen
÷Alt+0247  Divisionszeichen
Alt+8725  Divisionsschrägstrich
Alt+8730  Quadratwurzel
Alt+8734  Unendlich
Alt+8735  Rechter Winkel
Alt+8745  Durchschnitt
Alt+8747  Integral
Alt+8776  Fast gleich
Alt+8800  Ungleich zu
Alt+8801  Identisch
Alt+8804  Kleiner oder gleich
Alt+8805  Größer oder gleich
Alt+8706  Partielles Differential
Alt+8710  Inkrement
Alt+8719  n-stelliges Produkt
Alt+8721  n-stellige Summe
Alt+8992  Oberes Halbintegral
Alt+8993  Unteres Halbintegral
Sonderzeichen per Tastatur Wie?

Nachfolgend einige Tastatur-Kürzel.

Zeichen Windows Mac
ƒ ALT 0131 ALT f
ALT 0132 ALT Shift W
ALT 0133 ALT .
ALT 0134 ALT t
ALT 0135 ALT Shift Y
ˆ ALT 0136 ALT Shift K
ALT 0137 ALT Shift E
Š ALT 0138 nicht verfügbar
ALT 0139 ALT Shift B
Œ ALT 0140 ALT Shift Ö
ALT 0145 ALT #
ALT 0146 ALT Shift #
ALT 0147 ALT 2
ALT 0148 ALT Shift 2
ALT 0149 ALT ü
ALT 0150 ALT -
ALT 0151 ALT Shift -
˜ ALT 0152 ALT Shift 8
ALT 0153 ALT e
š ALT 0154 nicht verfügbar
ALT 0155 ALT Shift N
œ ALT 0156 ALT ö
Ÿ ALT 0159 ALT Shift Y
nicht
trennend
ALT 0160 ALT Leer
¡ ALT 0161 ALT 1
¢ ALT 0162 ALT 4
£ ALT 0163 ALT Shift 4
¤ ALT 0164 ALT Shift D
¥ ALT 0165 ALT y
      
Zeichen Windows Mac
¦ ALT 0166 nicht verfügbar
¨ ALT 0168 CTRL ALT u
© ALT 0169 ALT g
ª ALT 0170 ALT h
« ALT 0171 ALT q
¬ ALT 0172 ALT L
® ALT 0174 ALT r
¯ ALT 0175 ALT Shift 0
° ALT 0176 ALT Shift
± ALT 0177 ALT +
ALT 0182 ALT 3
· ALT 0183 ALT Shift 9
¸ ALT 0184 ALT Shift R
¹ ALT 0185 nicht oder selten verfügbar
º ALT 0186 ALT Shift ü
» ALT 0187 ALT Shift Q
¼ ALT 0188 nicht oder selten verfügbar
½ ALT 0189 nicht oder selten verfügbar
¾ ALT 0190 nicht oder selten verfügbar
¿ ALT 0191 ALT ß
× ALT 0215 nicht verfügbar
Ø ALT 0216 ALT Shift 0
Þ ALT 0222 ALT Shift 0
æ ALT 0230 ALT ä
ð ALT 0240 ALT d
ñ ALT 0241 ALT n n
÷ ALT 0247 ALT Shift .
ø ALT 0248 ALT 0
þ ALT 0254 nicht oder selten verfügbar
ÿ ALT 0255 ALT u y
Mathematical Markup Language ( MathML ) can-i-use?

Zur Darstellung mathematischer Formeln und komplexer Ausdrücke in Webseiten wurde vom W3C die "Mathematical Markup Language" MathML (wikipedia ) geschaffen. Mit MathML Validator kann die MathML-Syntax validiert werden. Leider ist 2015 die Browser-Unterstützung von MathML Version 3 noch nicht perfekt ( siehe z.B. caniuse mathml )

Beispiele: Unicode-Zeichen für mathematische Formeln

Mit Hilfe einer halben Zeilenhöhe ( line-heigth etwa 0.5em ) dem mittigen Multiplikationspunkt "·" und den Unicode-Zeichen ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ können Vektoren und Matrizen genähert dargestellt werden. Beispiele ( siehe HTML-Quelltext ):

                  ⎡ 3  1 ⎤             
 ⎡ 2  -3  1 ⎤                    ⎡-7   4 ⎤
               ·  ⎢ 4  1 ⎥  -              
 ⎣-4   5  6 ⎦                    ⎣ 2  31 ⎦
                  ⎣-1  5 ⎦

Mit Hilfe von Unicode-Zeichen, wie z.B. mittigen Multiplikationspunkt "·", dem Wurzel-Zeichen "√", griechischen Zeichen "∑", "Φ" und dem mittigen Bruchstrich "———————" und einer halben Zeilenhöhe ( line-heigth etwa 0.5em ) können mathematischen Formeln gemähert geschrieben werden. Beispiele ( siehe HTML-Quelltext ):

           ∞
  3            -6·n                   1 + √5 
 Φ   = 4 · ∑  Φ             mit   Φ = —————— 
                                        2
          n=0
                2                            
             8·x  - 10·x + 3              1 
   
f(x) = ——————————————————————————  -  —————————
            3       2                 
        24·x  - 46·x  + 29·x - 6       3·x - 2 
                                  1              
Kettenbruch  y  =  1 + ————————————————————————— 
                                    1            
                       1 + ———————————————————   
                                      1          
                            1 + —————————————    
                                        1        
                                 1 + ———————     
                                          1      
                                     1 + ———     
                                          x
       fi(6)·x + fi(5)             1                    fi(6) 
y  =  ————————————————   =  ———————————————————————  +  —————
       fi(5)·x + fi(4)      fi(5)·(fi(5)·x + fi(4))     fi(5) 

Darstellung von Unicode-Blöcken Wie wird sowas programmiert?

Im HTML-Quelltext steht die Funktion pad(i1, i2, step). Durch die Auswahl eines Uncode-Zeichen-Bereiches werden die Zeichen in ein div-Tag geschrieben. Steht der Maus-Cursor auf einem Zeichen (onmouseover), so wird im zugehörigen Tip-Fenster die dezimale und Hexadezimale Schreibweise (und die Unicode-Schreibweise für ein Zeichen in einem ECMAScript-String) eingeblendet.